Isometrie e area.
Dopo che i piccoli avevano conquistato l’idea di area di una figura piana e avevano raggiunto una certa familiarità con le isometrie, procedevamo alla ricerca delle formule per la determinazione delle aree delle principali figure geometriche.
L’idea che sosteneva allora quella attività era che attraverso le isometrie fosse possibile ricondurre l’area di un qualsiasi poligono a quella di un rettangolo. Era perciò necessario che i piccoli avessero recepito in modo corretto il concetto di area del rettangolo.
Area del parallelogramma
L’area del parallelogramma ABCD è uguale all’area del rettangolo ABEF. Infatti, per la proprietà additiva dell’area, si ha:
e anche
Risulta però
perché il triangolo ADF è congruente al triangolo BCE per la traslazione di vettore
e quindi
Area del triangolo
Un mezzogiro intorno ad O, punto medio di BC, porta il triangolo ABC sul triangolo DCB e l’unione dei due triangoli è il parallelogramma ABCD
Si ha allora:
Area del trapezio
Un mezzogiro intorno ad O, punto medio di BC, porta il trapezio ABCD sul trapezio FCBE; l’unione di questi due trapezi è il parallelogramma AEFD di base a + b e altezza h
Si ha allora:
Un altro approfondimento
Perché in un parallelogramma i quattro triangoli determinati dalle due diagonali hanno tutti la stessa area?
Il mezzogiro intorno ad O porta il triangolo ABO sul triangolo CDO e il triangolo AOD sul triangolo COB
risulta quindi immediatamente:
e
Sempre per le proprietà del mezzogiro risultano congruenti i segmenti AO e OC, DO e OB. Se si considerano i triangoli AOD e OCD, si può osservare che essi hanno la stessa area perché sono triangoli con la stessa base e la stessa altezza DH (distanza di D dalla retta AC).
Quindi:
e, per la transitività della relazione di uguaglianza:
Almeno i piccoli si divertivano e curiosavano dentro la bella geometria, e io evitavo di dover trasmettere formule astratte che sarebbero state dimenticate in un tempo brevissimo ☺
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