Arte nell'aritmetica modulare: le stagioni * C'è sempre voglia di Matematica

Arte nell’aritmetica modulare: le stagioni

Chi avrà ragione tra i due bambini?

E poi, è sempre vero che 3+4 è uguale a 7?

L’uguaglianza è vera se si tratta di un’addizione fra numeri naturali calcolata in base 10, o comunque in una base maggiore di 7.

Il risultato di un’operazione dipende infatti dall’insieme numerico in cui si opera, dalla definizione di operazione che diamo e dalla base del sistema in cui eseguiamo il calcolo.

Spesso alcuni calcoli ci sembrano strani, ma li usiamo spesso, e anche molte volte al giorno.

Si può chiamare aritmetica dell’orologio, aritmetica modulare, e anche sistemi aritmetici finiti.

È nel secolo XIX che i matematici hanno inventato un’altra aritmetica,

l’ “aritmetica finita” che serve per matematizzare dei fenomeni che si ripetono periodicamente come le stagioni, i giorni della settimana, i mesi dell’anno, ecc.

In diverse situazioni perciò una linea dei numeri può essere percorsa all’infinito, ricominciando da capo quando si è giunti all’ultimo numero. Un sistema finito è un sistema che ha un certo numero determinato di elementi, che sarà 0 o un qualsiasi numero naturale.

Questo tipo di sistema è diverso, ad esempio, dal sistema dei numeri naturali che ha un numero infinito di elementi.

Se ho un numero finito di elementi ho per esempio una dozzina di mele, l’insieme dei numeri del quadrante di un orologio, l’insieme dei numeri dispari compresi fra lo 0 e il 20, …

Ma se pensiamo all’insieme di tutte le frazioni, o all’insieme di tutti i quadrati, o all’insieme delle rette di un piano, sono insiemi con infiniti elementi.

Così, alcuni sistemi matematici sono finiti e altri sono infiniti.

Osserviamo una di queste situazioni.

Aritmetica delle stagioni

Questa ciclicità, questo percorso all’infinito, viene chiamato ARITMETICA MODULARE – o, anche, aritmetica dei “resti”– e, nel caso delle stagioni, prende il nome di MODULO 4.

Costruiamo uno schema e assegniamo un numero a ciascuna stagione:

Di seguito uno schema che evidenzia il ripetersi delle stagioni:

Le stagioni si ripetono periodicamente.
Ogni quattro stagioni si ricomincia da capo.
Dopo la primavera, ci sarà l ’estate, poi l’autunno, l’inverno e di nuovo la primavera.

Costruiamo una tabella dove inseriremo i numeri trovati nello schema (e qualche numero in più).

E’ più chiaro ora il significato di aritmetica dei “resti”: tiene conto del resto della divisione di numeri naturali per il numero scelto come modulo.

Siamo in primavera.

Tra … stagioni saremo in …

Nell’aritmetica delle stagioni è sempre possibile eseguire addizioni e sottrazioni e, sorprendentemente,

possiamo scoprire che

2+3= 1

Vediamo come.

Modifichiamo anche lo schema, inserendo l’1 al posto dello 0.

Se aggiungo tre stagioni all’ autunno arrivo all’ estate.

Nell’aritmetica delle stagioni quindi:

3 + 3= 2

Siamo in primavera.

Due stagioni fa eravamo in …

1 – 2= 3

Arte nell’aritmetica modulare: le stagioni

Arte modulare

Un ampliamento “artistico” dell’attività può portare a ricercare modelli nella tabella dell’addizione e della sottrazione (e non solo, ovviamente. La tabella della moltiplicazione offre sviluppi veramente belli).

Esistono molti modi per creare modelli di progettazione di base da tabelle di operazioni aritmetiche modulari. Il modo più semplice è quello di dividere un quadratino con motivi e colori diversi e collocarlo in ogni casella numerata all’interno di una tabella.

Con dei fogli quadrettati e con la carta trasparente si ripete lo stesso schema scelto.

La matematica è lo studio dei modelli. Uno dei modi in cui possiamo usare i modelli numerici è nella creazione di disegni unici e artisticamente piacevoli. Possiamo perciò provare a realizzare modelli grafici basati su tabelle aritmetiche modulari.

I modelli grafici di base:

Con la tabella di addizione:

Ora possiamo usare questa combinazione di 25 quadrati come modello di design di base, che possiamo traslare, riflettere o ruotare per formare disegni più grandi e artistici.

Costruiamo una tabella grande di 2×2

E copiamo (sempre carta trasparente) il modello di progettazione di base in uno dei quattro *quadranti* della griglia 2 x 2

Lo stesso modello viene riflesso negli altri tre quadranti (oppure ruotato, o traslato. È comunque diverso visivamente e geometricamente il motivo finale a seconda delle trasformazioni scelte)