Una stella magica
Cos’è una stella magica?
Una stella magica a sei lati è costruita usando 12 numeri, con n righe di 4 numeri che totalizzano la somma magica, che possiamo chiamare la costante N.
Bordo A+C+F+H = bordo A+D+G+K = bordo B+C+D+E = … = N (costante).
Qual è il numero della costante N?
Si calcola la somma di tutti i numeri da 1 a 12:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 = 78
quindi A+B+C+D+ … +L = 78
quindi N = 2( A+B+C+D+ … +L) :6= 2X78:6= 26
Costruire una stella magica usando la somma 26
Ci sono molte combinazioni di numeri.
Iniziamo con 1 e 2 e sottraiamo (1+2) dalla somma 26:
26 – (1+2) = 23.
Ora, poiché il numero più grande utilizzato sarà 12 e abbiamo appena usato 1 e 2, sottraiamo
23 – 12 = 11
Quindi il primo insieme è (1,2,11,12),
il successivo insieme è (1,3,10,12) e
il successivo è (1,4,9,12)
. . . .
. . . .
Così otteniamo
(1,2,11,12)
(1,3,10,12)
(1,4, 9,12)
(1,4,10,11)
(1,5,8,12)
(1,5,9,11)
(1,6,7,12)
(1,6,8,11)
(1,6,9,10)
(1,7,8,10)
(2,3,9,12)
. . .
. . .
(5,6,7,8)
Useremo solo le prime10 serie.
Costruire una stella magica
Sostituiamo le lettere con i numeri e iniziamo con un numero 1 in alto.
Se usiamo il primo insieme (1,2,11,12) per la riga ACFH, allora non possiamo usare il secondo insieme (1,3,10,12) nell’ altra riga ADGK perché il numero 12
verrebbe usato due volte.
Quindi gli insiemi possibili per ADGK sono (1,6,9,10) e (1,7,8,10).
Comprendere i modelli: primo processo
Abbiamo provato a usare (1,2,11,12) per A,C,F,H e (1,6,9,10) per A,D,G,K per vedere se queste combinazioni funzionano.
Elencando tali combinazioni si ottiene:
{1,2,11,12} — {1,6,9,10} o {1,7,8,10}
{1,3,10,12} — {1,5,9,11} o {1,6,8,11}
{1,4,9,12} — {1,6,8,11} o {1,7,8,10}
{1,4,10,11} — e così via.
{1,5,8,12} —
{1,5,9,11} — {1,6,7,12} o {1,7,8,10}
{1,6,7,12} —
{1,6,8,11} —
{1,6,9,10} —
{1,7,8,10} —
Le possibili combinazioni per B,C,D,E sono:
B,2,6,E
B,2,9,E
B,2,10,E
B,11,6,E
B,11,9,E
B,11,10,E
B,12,6,E
B,12,9,E
B,12,10,E
Controlliamo le possibilità:
a. Proviamo la prima combinazione possibile: B,2,6,E
2 + 6 = 8; 26 – 8 = 18; quindi B + E = 18.
Ma B + E non può essere uguale a 18, quindi non si può usare 2,6 per C,D.
b. La prossima combinazione da provare è B,2,9,E
2 + 9 = 11; 26 – 11 = 15; quindi B + E = 15, che è possibile:
(B,E) = (7,8)
(I,J,L) = (3,4,5).
Le possibili combinazioni per H,I,J,K sono:
11,I,J,6
11,I,J,10
12,I,J,6
12,I,J,10
Ma la condizione della somma = 26 è soddisfatta solo da
11,I,J,6 e (I,J) = {4,5} o
12,I,J,6 e (I,J) + {3,5}
Nella stella a sinistra non possiamo avere due11, quindi invertiamo
Per finire, posizioniamo l’ultima cifra, il 3
Una curiosità
Non si riesce a costruire alcuna stella magica a 5 punte e non esistono poligoni stellati con meno di 5 punte. Quindi le stelle magiche partono da 6 punte.
Ma di magico c’è anche il pentagono !
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