Quadrato magico 3×3.
Disporre i numeri da 1 a 9 in una griglia di 3 per 3, un numero per casella, in modo che le somme verticali, orizzontali e diagonali siano tutte uguali: si tratta del più piccolo quadrato magico, il Lo Shu.
Un’attività classica e ricorrente nelle aule scolastiche.
Per la sua risoluzione si potrebbe certamente utilizzare un approccio “per tentativi” e ottenere una soluzione corretta. Oppure, si potrebbe provare con una strategia più metodica.
Ragionamento aritmetico e algebrico
C’è un modo per costruire un quadrato magico 3×3 con un semplice ragionamento aritmetico e algebrico.
Si potrebbe ragionare sul fatto che i numeri da 1 a 9 sommati diano il risultato di 45:
a + b + c + d + e + f + g + h + i = 45
e dato che tutti questi numeri sono contenuti esclusivamente in tre file, la somma di ogni fila deve essere 15.
Poiché non conosciamo l’ordine dei numeri da 1 a 9 che riempiono correttamente il quadrato magico 3×3, sostituiamo le variabili a-i nella griglia che lo forma:
Dalle caratteristiche dei quadrati magici in generale, poi, si evince che anche tutte le colonne e le diagonali saranno anch’esse pari a 15.
Costruire un quadrato magico 3×3
A questo punto si devono trovare tutte le combinazioni di tre numeri – da 1 a 9 – la cui somma sia 15.
Questo può essere fatto per tentativi (così per lo più procedevano i piccoli in classe durante le iniziali attività) cercando, nella griglia, tutti i modi possibili di trovare queste terne di numeri:
1 + 5 + 9 = 15
1 + 6 + 8 = 15
2 + 4 + 9 = 15
2 + 5 + 8 = 15
6 + 2 + 7 = 15
3 + 4 + 8 = 15
3 + 5 + 7 = 15
4 + 5 + 6 = 15
Osservando le terne si vede che alcuni numeri si ripetono.
Il numero 1 lo troviamo nelle combinazioni 1,5, 9 e in 1, 6, 8.
Sempre in due combinazioni si trovano anche il 3, il 7 e il 9.
In tre combinazioni si trovano il 2, il 4, il 6 e l’8.
Il 5 poi lo troviamo in 4 terne. È l’unico numero 😊
Pensiamo anche alla configurazione geometrica del quadrato.
Ha 4 assi di simmetria che si incontrano in un punto interno al quadrato, che è il suo centro di simmetria.
Risolvere
Utilizzando le osservazioni precedenti, completiamo il quadrato!
Osservando un quadrato magico vuoto 3×3, si può vedere che la casella centrale occupa una riga, una colonna e due diagonali.
E osservando le terne si può notare che 5 è l’unico numero che si trova in quattro delle otto combinazioni. Viene intuitivo perciò pensare che il 5 stia al centro della griglia
Proseguendo con questo ragionamento, il 2, il 4, il 6 e l’8, che troviamo in tre terne, possono occupare le caselle ad angolo.
Posizionando, in questo caso, il 4 in alto a sinistra, l’unico numero da aggiungere per ottenere la somma di 15 è il 6
Per completare l’altra diagonale restano il 2 e l’8
Infine, i quattro numeri rimanenti (1, 3, 7, 9) possono essere posizionati in un solo modo per ottenere la somma di 15:
Seguendo questo ragionamento si possono ottenere gli altri quadrati magici 3×3. Ci sono infatti altre sette soluzioni al problema.
Un quadrato magico 3×3 contiene otto soluzioni possibili: quattro rotazioni e quattro riflessioni.
Scoprirlo in gruppo è sempre una bella sfida😁
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